Mandelbrot und Momentum - kann man den Markt schlagen?

Als einer der ersten kritisierte Benoît Mandelbrot wesentliche vereinfachende Annahmen der Finanzmathematik. Nicht nur, dass Märkte turbulenter sind als klassisch angenommen. Neueste Ergebnisse zeigen, dass diese auch eine andere Struktur haben: Märte sind fraktal und alles andere als effizient.

Wilde Märkte 

Als einer der ersten kritisierte Benoît Mandelbrot schon frühzeitig in den 60er Jahren die grundlegende Verteilungsannahme von normalverteilten Renditen. Bei der Analyse von Baumwollpreisen entdeckte er Skalierungsgesetze, die auf sogenannte „fat tails“ hindeuteten. Hieraus schloss er, dass Märkte über eine Lévy-Verteilung beschrieben werden können - theoretisch mit unendlicher Varianz. Nassim Taleb - ein Verehrer von Mandelbrot und dessen Arbeiten - hat diesen Gedanken in seinem Buch „Black Swan“ aufgenommen. Schwarze Schwäne sind in Taleb’s Verständnis extreme Ereignisse, die als absolute Überraschung kommen und die einen unerwarteten, großen Effekt hervorrufen. Jüngste Ereignisse in Bezug auf die Schweizer Notenbank belegen diese Sichtweise: Die Aufhebung der Bindung zum Euro hatte eine Aufwertung des Schweizer Franken in nie gekanntem Ausmaße zur Folge. An nur einem Tag wurden Broker sowie Hedgefonds ausradiert und viele Banken erlitten erhebliche Verluste. War dieses Ereignis aus den Risikomanagement-Systemen abzuleiten? Die Antwort ist nein, weil diese Systeme eben oftmals auf den vereinfachenden Annahmen von normalverteilten Renditen aufbauen. Ein Punkt, den Benoît Mandelbrot bis in sein hohes Alter immer wieder energisch vertreten hat. Märkte sind turbulent, Märkte sind fraktal und wesentlich riskanter als klassisch unterstellt.

Effiziente Märkte

Aber es gibt noch einen weiteren Punkt, der wesentlich stärker wiegt. Ende der 60er entwickelte Benoît Mandelbrot das Modell der gebrochenen Brown’schen Bewegungen, welche Skalierungseigenschaften haben, die er zuvor gemessen hatte. Im Kern unterstellen diese Modelle, dass Märkte ein Gedächtnis haben. „Trending“ und „Mean-Reversion“-Effekte können hierdurch modelliert werden. Zugrunde liegt, dass Renditen abhängig von der Vergangenheit sind. 

Sein Promotionsstudent Eugen F. Fama vertritt hingegen seit seinen Arbeiten aus den 70er Jahren eine andere Sicht: Investoren sind rational und Märkte sind effizient. Kein Investor kann dauerhaft den Markt schlagen - eine höhere Performance als der Markt sei nur durch ein höheres Risiko zu erzielen. Dies alles stand im Einklang mit dem theoretischen Fundament der Neoklassik. Renditen seien im Wesentlichen unabhängig von der Vergangenheit und keine Analyse dieser Vergangenheit erlaube Rückschlüsse auf die Zukunft.

Anomalien in effizienten Märkten

Allerdings musste Fama auch durch seine eigene Arbeiten (und hierfür 2013 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet) feststellen, dass die wesentlichen Renditen am Markt durch sogenannte Anomalien beschrieben werden können. Hierzu gehören neben Momentum (erstmals von Jegadeesh und Titman 1993 beschrieben), der „Value“ - Effekt sowie der Größen-Effekt. Während bei „Value“ und Größe noch Risiken unterstellt werden können, gilt dies für den Momentum-Effekt nicht. Dieser Momentum-Effekt, der inzwischen für 40 Märkte, verschiedene Asset-Klassen sowie bis zurück in das Jahr 1802 belegt ist, kommt zudem allein durch die Analyse der Vergangenheit des Kursverlaufs zustande und erzielt in einem erheblichen Maße Überrenditen zum Markt ohne erklärbares Risiko. In seinen Arbeiten würdigt Fama diesen Effekt als „überzeugend“ und geht in einem Interview soweit, dass er bei dem Momentum-Effekt „ein Problem habe“ (er sollte nicht da sein).  Wie jüngste Ergebnisse zeigen: Nicht ganz zu unrecht… 

Mandelbrot und Momentum

Was haben nun Mandelbrot’s Arbeiten mit Momentum zu tun - ein Effekt, den Mandelbrot durchaus kritisch gesehen hat? In seinen späten Darstellungen entwirft Benoît Mandelbrot die Vision fraktaler Märkte, die sogenannten „Cartoons“. Dies sind Preisbildungsprozesse, die Trends in kleinere Trends unterteilen und das bis auf beliebige Detailstufen hinunter - ein Konstruktionsprozess klassischer Fraktale. In zwei Arbeiten im Journal Quantitative Finance (die erste angenommen, die zweite im Review) nehmen wir dazu Stellung. Über moderne Trendzerlegungsverfahren aus dem mathematischen Gebiet der Wavelets zeigen wir, dass mittlere Trendlängen einen Zusammenhang mit der Detailebene der Betrachtung haben, die über ein Potenzgesetz beschrieben werden können. Je gröber die Trendeinteilung desto länger auch die mittleren Trendlängen. Was sich zuerst trivial anhört, zeigt aber im Vergleich zu klassisch unterstellten Zufallsprozessen, wie z.B. dem Random Walk, aber auch im Vergleich zu gebrochenen Brown’schen Bewegungen, den deutlichen Unterschied zu realen Daten. Trendlängen in diesen realen Daten skalieren stärker über dieses Potenzgesetz und sind damit erheblich länger als jene in klassischen Zufallsprozessen. Genau diese überlangen Trends werden von Momentum - Strategien ausgenutzt - wir sprechen in diesem Zusammenhang von einem Momentum-Exponent des Potenzgesetzes, der statistisch entscheidet, wie lange eine Position im Momentum-Portfolio verbleibt.

Mandelbrot Marktmodell 

Wenn dieser Momentum-Effekt durch kein klassisches Modell beschrieben werden kann, dieser aber überall nachgewiesen wird, stellt sich die Frage, ob man ein neues Modell angeben kann? Und das ist möglich: Über eine rekursive Trendzerlegung auf Basis von Wavelets leiten wir einen fraktalen Preisbildungsprozess ab, der auch ökonometrisch nachgewiesen ist. Nicht die Renditen werden im Wesentlichen als zufällig angenommen, sondern die Trends in diesem rekursiven Zerlegungsprozess. Dieses - und zu Ehren von Benoît Mandelbrot nach ihm benannte - Mandelbrot Marktmodell erfüllt zwei Visionen von Mandelbrot. Wir zeigen, dass wir Märkte als fraktale Trends auffassen können und diese Eigenschaft (über das Modell) zu turbulenten Märkten führt. Über geeignete Monte-Carlo Simulationen können wir ableiten, dass Märkte auf Basis dieser Trendstruktur doppelt so riskant sind, als klassisch unterstellt. Eine der Hauptthesen von Mandelbrot, ohne zudem die „fat tails“ - Problematik mit aufgenommen zu haben. Aber wo Risiken sind, ergeben sich auch Chancen. Dasselbe Modell mit der gleichen Simulationstechnik erklärt auch den Momentum - Effekt. Diese Ergebnisse zeigen, was schon immer Mandelbrot’s innerste Überzeugung war: Märkte sind turbulent, Märkte sind fraktal und es gibt keine effizienten Märkte.

Kontakt zum Autor:
Dr. Wilhelm Berghorn
Mandelbrot Quantitative Research
http://mandelbrot.de

wilhelm.berghorn@mandelbrot.de